有哪些高中数学椭圆解题方法?

不是因为我叫椭圆就邀请我吧

此回答是另一回答
http://www.zhihu.com/question/27903858/answer/88881974
的简略版本,适用于基础稍差的同学。
注:本回答的主要内容完成于2016年,回答所涉及内容是针对当时的高考出题情况给出的技巧和方法。
一、设点或直线
做题一般都需要设点的坐标或直线方程。点可以设为,就可以。还要注意的是,很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线,如果过定点并且不与 轴平行,可以设点斜式,如果不与 轴平行,可以设( 是倾斜角的余切,即斜率的倒数,下同)。如果直线不过定点,干脆在设直线时直接设为 或 (注意: 不表示平行于 轴的直线, 不表示平行于 轴的直线)
二、转化条件
有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的,这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步,如果转化得巧,可以极大地降低运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。
向量:平行、锐角或点在圆外(数量积大于0)、直角或点在圆上(数量积等于0)、钝角或点在圆内(数量积小于0)、平行四边形
斜率:平行(斜率差为0)、垂直(斜率积为-1)、对称(两直线关于坐标轴对称则斜率和为0,关于 对称则斜率积为1
使用斜率转化一定不要忘了单独讨论斜率不存在的情况!
几何:相似三角形(依据相似列比例式)、等腰直角三角形(构造全等)
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可,有的题目给的条件可能有多种转化方式,这时候最好先别急着做题,多想几种转化方法,估计一下哪种方法更简单,三思而后行。
三、代数运算
转化完条件就剩算数了。很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理,但要注意并不是所有题目都是这样。
解析几何中有的题目可能需要算弦长,可以用弦长公式
解析几何中有时要求面积,如果 是坐标原点,椭圆上两点 坐标分别为和, 与 轴交于 ,则 ( 是点 到 的距离;第三个公式教材上没有,解要用的话需要把下面的推导过程抄一下)。
解析几何中很多题都有动点或动直线。如果题目只涉及到一个动点时,可以考虑用参数设点。若是只涉及一个过定点的动直线,题目中又涉及到求长度面积之类的东西,这时设直线的参数方程会简单一些。
有的解析几何题目可能需要求一个分式的取值范围,所以我这里也总结一下常见情况分式取值范围的求法。设,其中 的次数为 , 的次数为
当 时,如果 ,即分子是常数,直接研究分母的取值范围即可求出整个分式的取值范围。如果 ,可以(使用换元法)将分子除到分母上,转化为 的情况。
当 时使用多项式除法可以转化为 的情况。转化时可以使用多项式除法,求解时可能用到均值不等式。
看两个例子
(1)

(2)
,设

在解析几何中还有一种方法叫点差法虽然适用范围不大,但是能用点差法做的题目用点差发真的会比常规方法简单不少。这类题目一般都会涉及到弦的中点,做题时一定不要忘了点差法的存在。设椭圆上两个点的坐标,将两点在椭圆上的方程相减,整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式,或者说得到两点联线斜率与中点与原点连线的斜率积。因为点差法得到的是斜率关系,所以将点差法与转化斜率关系一起使用效果更佳。(当然前提是这道题得能用斜率转化)为了更好地认识点差法,我单找了一些点差法的例题。
例一
例二
例三
四、能力要求
做解析几何题,首先对人的耐心与信心是一种考验。在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简,这时候,只要你方向没错,坚持算下去肯定能看到最终的结果。另外运算速度和准确率也是很重要的,在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题,因此需要有一定的做题速度,在做题的时候运算准确也是必须要保证的,因为一旦算错数,就很可能功亏一篑。
五、补充知识
这一部分主要说一些对做题可能有帮助的公式、定理、推论等内容
1、关于直线:
将直线的两点式整理后,可以得到这个方程:。据此可以直接写出过和两点的直线,至于这两点连线是否与x轴垂直,是否与y轴垂直都没有关系。对于一些坐标很复杂的点,可以直接代入这个方程便捷的得到过两点的直线。
2、关于椭圆:
椭圆的焦点弦弦长为(其中α是直线的倾斜角,k是l的斜率)。右焦点的焦点弦中点坐标为,将横纵坐标都取相反数可得左焦点弦的中点坐标。
上面给出的几个内容大都是教材中没有的,但这不代表这些东西在考场上不能用。比如关于直线的内容,用的时候先写两点式或点斜式,在写上面的形式,阅卷老师也不一定知道你是在套结论。如果想用关于椭圆的内容,可以装模作样地算算,实际上再套用结论,老师也未必能看出来。用这些结论,都能或多或少地减小运算量,降低算错的几率。
六、例题
下面是几道例题。建议看解题过程之前最好先自己做一做。就算不做也一定要看啊,里面涉及到好多方法的!

例1
例2

例3

例4
这道题有一定难度,可以用来锻炼运算能力

例5

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2015年12月13日更新:添加了例1
2015年12月20日更新:改正了一些错误,补充了“补充知识”部分
2015年12月27日更新:添加了例2、例3,改正了一些错误
2016年1月10日更新:完善了答案
2016年1月17日更新:改正了一些错误
2016年2月4日更新:补充了第三个面积公式的推导过程,补充了“设点或直线”部分
2016年2月28日更新:添加了例4,补充了代数运算部分
2016年4月17日更新:改正了一些错误,对“转化条件”部分有补充,添加了例5
2016年6月16日更新:对“转化条件”部分有所补充,补充了点差法的内容
2016年6月18日更新:补充了点差法的例题
2016年8月24日更新:删去了原来比较难或用的不多的的一些知识点和相关例题,并将此版本设为文科版
2020年8月17日更新:改正了一些错误。修改了分式取值范围的介绍,取消了文科版的设定。

椭圆是属于圆锥曲线题主应该知道吧,都说画龙点睛,圆锥曲线的睛在哪里呢,就是这个方程。当k不等于0时,右边可以把k提取出来,变成注意到了么?左边是(x,y)到(a,0)的距离,右边是(x,y)到x=Q/k的距离,k是到焦点与到定直线距离之比为定值,如果心算稍微好一点,两边平方后,右边只保留常数项,其他的移到左边,稍微配方一下,左边多出的常数项再移回右边,就可以看出。如果k<1,这个方程就是椭圆方程,只不过可能在x轴平移了一下如果k>1,方程是双曲线方程如果k=1,方程是躺着的抛物线如果k=0,方程是x轴平移的圆椭圆,双曲线存在一条纵向的对称轴,所以它们的焦点和定直线都有两条,这两条定直线的距离是固定的,椭圆上一点都对应两条定直线,点到两定直线的和是固定的,到焦点和定直线距离比是固定的,到焦点的距离和也必定是固定的。双曲线也是一样,只不过距离只和变为距离之差。这是将圆锥曲线两个定义与方程轻易统一起来的方法,又不算难,不知道高中教材为什么没有讲。

自己手写了一些 可能不太全面 但大致都包括了

哎……为什么没人讲硬解定理……窃以为三级弦长公式最为霸道。这些公式吃透了,九成的大题只要十分钟。小题的话……技巧和结论就太多了。

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